Experiment exploration
Задача экспериментального исследования систем
Для установления закономерностей функционирования этих объектов в реальных условиях одних теоретических исследований недостаточно, так как аналитически описать изучаемый объект с достаточной точностью не всегда представляется возможным. Такие объекты характерны практически всем направлениям прикладных исследований, как в технологии, так и в технике и в области естественных наук. Экспериментальные данные могут быть использованы для проверки и уточнения рабочих гипотез, а также обоснования направления исследований в соответствующей области. Эффективность исследований в целом повышается, если теоретические предпосылки уточняются опытным путем, а экспериментальные данные анализируются и обобщаются на базе теоретических положений соответствующих отраслей наук.
Эксперимент - это метод исследования, состоящий в целенаправленном воздействии на объект в заданных контролируемых условиях, позволяющих следить за ходом его проведения с точным фиксированием значений заранее намеченных параметров исследуемого объекта с требуемой надежностью и точностью и воссоздать его каждый раз по мере необходимости при повторении тех же условий его проведения. При этом как условия, так и параметры исследуемого объекта (параметры рабочих органов машин и оборудования, отдельных операций технологических процессов, характеристики явлений и т.д.) могут меняться в заранее заданных интервалах варьирования.
Современное понимание измерений
В узком смысле - экспериментальное сравнение одной измеряемое величины с другой.
В широком - установление соответствия между числами и объектами, их состояниями или процессами по известным правилам.
Основные проблемы измерений
- Установление типа шкалы
- Поиск алгоритмов анализа данных - инвариантных для любой шкалы(то есть не имеющих сайд эффектов)
Основные типы шкал
Классификация:
- Качественные
- Номинальные - числа используются в качестве идентификатора, допускаются все взаимнооднозначные преобразования.
- Порядковые - числа используются в качестве id & для установления отношений порядка(>,<) между элементами(экспертные оценки измеряются в порядковых шкалах)
- Количественные
- Интервальная - По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: °C = 5/9 (°F - 32), где °C - температура (в градусах) по шкале Цельсия, а °F - температура по шкале Фаренгейта.
- Отношений - В шкалах отношений есть естественное начало отсчета - нуль, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами, линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примеры использования таких преобразований: пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу, перевод массы из килограмм в фунты.
- Разности - В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки - от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественного начала отсчета времени указать нельзя. Допустимыми преобразованиями шкале разностей являются сдвиги.
- Абсолютная - Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
Допустимые логические/ математические операции по шкалам:
| O | Номинальная | Порядковая | Интервальная | Отношений |
|---|---|---|---|---|
| • ÷ | Нет | Нет | Нет | Да |
| + - | Нет | Нет | Да | Да |
| > < | Нет | Да | Да | Да |
| = ≠ | Да | Да | Да | Да |
Проблема адекватности
Будем считать, что две шкалы позволяют достичь одного и того же уровня измерения (или, как мы иногда будем говорить, принадлежат к одному и тому же уровню измерения), если эти шкалы являются шкалами одного и того же типа, т.е. если соответствующие этим шкалам совокупности допустимых преобразований совпадают. Будем также говорить, что одна шкала позволяет достичь более высокого уровня измерения (принадлежит более высокому уровню измерения), чем другая, если тип первой шкалы выше типа второй.
Инвариантные алгоритмы и средние величины
Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в ТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. Другими словами, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы.
Статистические выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.
Средние величины в порядковой шкале
Теорема 1. Из всех средних по Коши допустимыми средними в порядковой шкале являются только члены вариационного ряда (порядковые статистики).
Согласно теореме 1 в качестве среднего для данных, измеренных в порядковой шкале, можно использовать, в частности, медиану (при нечетном объеме выборки). При четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левую медиану или правую медиану. Моду тоже можно использовать - она всегда является членом вариационного ряда. Но никогда нельзя рассчитывать среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.
Средние по Коши/Колмогорову
Средней величиной по Коши является любая функция $$f(x_1, x_2,...,x_n)$$ такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел $$x_1, x_2,...,x_n$$, и не больше, чем максимальное из этих чисел.
Средние по Колмогорову. Естественная система аксиом (требований к средним величинам) приводит к так называемым ассоциативным средним. Их общий вид нашел в 1930 г. А.Н.Колмогоров. Теперь их называют «средними по Колмогорову». Они являются обобщением нескольких из перечисленных выше средних.
Для чисел $$X_1, X_2,...,X_n$$ среднее по Колмогорову вычисляется по формуле
$$G{(F(X1) + F(X2)+... + F(X_n))/n}$$,
где F - строго монотонная функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G - функция, обратная к F. Среди средних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) = x2, то среднее квадратическое, и т.д. (в последних трех случаях усредняются положительные величины). Среднее по Колмогорову - частный случай среднего по Коши. С другой стороны, такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову. В монографии доказаны следующие утверждения.
Теорема 3. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале интервалов из всех средних п Колмогоров допустимым является только среднее арифметическое.
Расстояние между объектами в номинальных шкалах
Расстояние между объектами, измеренными в номинальной шкале, позволяет работать с такими объектами так же, как если бы их параметры были измерены в количественных шкалах. Это свойство расстояния используется в интеллектуальном анализе данных, а также в случае, если появление объектов того или иного класса имеет вероятностный характер. Действительно, если объекты некоторого класса встречаются редко относительно объектов другого класса, то расстояние между объектами этих классов будет меньше, чем расстояние между объектами, относящихся к двум, встречающихся одинаково часто классам. Таким образом, на основании этого свойства можно моделировать появление объектов классов в системе, если известно лишь то, к какому классу они относятся, то есть имея лишь измерение некоторого их параметра в номинальной шкале.
Расстояние между объектами в ранговых шкалах
В шкалах рангового типа объекты связаны отношениями предшествования (<,>,=). Это значит, что количественная характеристика упорядоченных объектов (ранг) рассматривается только с точки зрения упорядоченности значений. Тогда ранги упорядоченных объектов связаны отношениями (<,>,=).
Согласование измерений в разнотипных шкалах. Расстояние между объектами в пространстве разнотипных признаков.
Если матрица данных образована разнотипными данными, то есть признаками, то каждый ее столбец представляет собой значения i-ой характеристики объектов, измеренной в своей шкале, то расстояние между объектами можно определить как
$$D=\sqrt{\sum{d_{i}^2}}$$, где $$d_i$$ – мера различия в соответствующей шкале.